Covid-19 : quelques notions mathématiques pour comprendre la pandémie

Covid-19 : quelques notions mathématiques pour comprendre la pandémie

Mieux vaut prévenir que guérir
Adage populaire

Surtout quand on ne sait pas guérir
Maître Pandaï

       L’idée de cet article m’est venue à la suite des réactions à mes stories sur Instagram qui fustigeaient l’inaction du gouvernement français face à la pandémie du covid-19. Je me suis rendu compte que beaucoup de gens n’avaient pas les notions mathématiques nécessaires pour mieux comprendre cette pandémie et les problèmes qui en découlent. J’ai donc décidé d’aborder des notions mathématiques et scientifiques importantes mais qu’on ne voit pas toujours selon la filière professionnelle choisie.

       Si des notions ne sont pas claires ou demandent davantage de précisions, n’hésitez pas à l’écrire en commentaires. Je me ferai un plaisir d’éclaircir ces points car le but est que le maximum de personnes acquièrent les outils nécessaires pour juger par eux-mêmes les actions du gouvernement face à la pandémie du covid-19. Et pour les forts en maths, il y a peut-être des imprécisions, mais ce n’est jamais simple de résumer dans une langue compréhensible du plus grand monde.

Note : si vous ne voyez pas assez bien les illustrations,
il est possible de cliquer desssus pour les agrandir.

La courbe exponentielle et le taux de reproduction (R)

Dès le début, nous savions que le virus avait un comportement en courbe exponentielle à cause de son taux de reproduction. Le taux de reproduction est le nombre de personnes contaminées via une seule personne. Pour le covid-19, il oscille entre 0,5 et 6 avec une moyenne mondiale un peu en dessous de 2. Ce taux de reproduction varie selon les régions et pays (habitude de toucher les gens, densité de population, urbanisation, etc.) C’est cette moyenne qui fait dire aux épidémiologistes que le covid-19 a une courbe exponentielle car son taux de reproduction dépasse les 1.

Taux de reproduction du covid-19

       La courbe exponentielle (le langage mathématique appelle cela une fonction exponentielle, la courbe est en réalité la représentation de cette fonction) est une courbe qui DOUBLE tous les X temps (un moment donné qui se répète dans le temps).

Courbe exponentielle du covid-19

Pour donner un exemple frappant, vous avez 2 cas le jour J qui doublent en 2 jours.

  • À J+2, vous avez 4 cas.
  • À J+4, vous avez 8 cas,
  • À J+6, vous avez 16 cas.
  • À J+8, vous avez 32 cas.
  • À J+10, vous avez 64 cas.
  • À J+12, vous avez 128 cas.

Dans cet exemple, en même pas 15 jours, vous vous retrouvez avec plus d’une centaine de cas en partant seulement de 2 personnes malades !

Courbe exponentielle des cas du covid-19

       Heureusement, en France, la courbe du covid-19, au moment où j’écris ces lignes, est beaucoup moins forte car le taux de reproduction est à 1,3 de moyenne et le temps de doublement à 14 jours. Mais en mars, juste avant le premier confinement, le temps de doublement était de 3 jours tandis qu’en juillet, il était de 16 jours[1] !!! En effet, le nombre donné du doublement de l’épidémie est aussi lié au taux de reproduction (plus ce taux est élevé, plus le temps de doublement est court).

       En outre, plus la courbe exponentielle sera haute et grimpera rapidement, plus il sera difficile de la faire redescendre (en langage mathématique, la fonction exponentielle n’en est plus une quand elle redescend).

Graphique des courbes du covid-19

La courbe du covid-19 est une courbe exponentielle.
Sur la courbe des malades (en jaune), nous voyons bien que dès août, le virus repartait fort, et qu’il fallait tout simplement continuer la progression de la courbe pour voir que ça allait être un désastre dès octobre.

Le taux d’incidence

       Il s’agit du nombre de nouveaux cas rapportés à la population. Le taux d’incidence s’exprime généralement en « nombre de personnes pour 100 000 personnes » et est lissé sur sept jours (une semaine) dans le cas du covid-19, pour permettre des comparaisons entre les populations du territoire (département et région en France) et dans le temps. Le nombre de cas pour le covid-19 est donné suite au retour des tests avec un résultat positif.

Taux d'incidence au covid-19.

       Pour rappel, le gouvernement français avait fixé le seuil de vigilance à 10 (10 malades pour 100 000 habitants) et le seuil d’alerte à 50. Jusqu’à début septembre, nous étions encore sur ces chiffres[2]. Le seuil d’alerte a été atteint début septembre… Aucune mesure sérieuse n’est prise par le gouvernement à ce moment-là… Excepté quelques jours plus tard, le changement des seuils pour passer le seuil d’alerte à 250 cas pour 100 000 habitants (la fameuse carte écarlate). Pourquoi ce changement alors que les autres pays européens ont toujours conservé le même seuil d’alerte ?

Nombre de cas début juillet 2020.
Nombre de cas mi-septembre 2020.
Nombre de cas début octobre 2020.
Nombre de cas fin octobre 2020.

Ces quatre cartes montrent qu’en juillet, le virus était presqu’éradiqué sur le territoire (excepté quelques départements). Et comme suelement des demi-mesures ont été prises, en mêm pas deux mois, nous nous sommes retrouvés en urgence sanitaire.

J’ai repris les cartes de Maître Pandaï (voir les liens à la fin de l’article),
car il a conservé les premiers seuils  (avant leur modification par le gouvernement mi-septembre).

Le taux de positivité

       Le taux de positivité est le pourcentage des cas positifs au test. Naïvement, je pensais qu’un taux de positivité bas aux tests était un bon signe. Oui… et non. C’est un bon signe… à la fin d’une pandémie car cela signifie que le virus n’infecte plus que peu de personnes… Mais un taux de positivité bas en début de pandémie quand on cherche à la maîtriser est un mauvais signe car cela signifie qu’on ne teste pas assez la population pour trouver le maximum de cas contaminés et remonter la chaîne de transmission.

       Même si nous avons l’impression que le gouvernement français teste beaucoup (ce qui est vrai, ne le lui enlevons pas), hélas, il ne teste pas encore assez par rapport à toute la population contaminée ! Et ce problème est important car l’objectif dans une pandémie est de casser la chaîne de transmission.

Taux de positivité au covid-19.

La chaîne de transmission

La chaîne de transmission est une autre notion importante à aborder en virologie. La chaîne de transmission est par quoi ou qui le virus passe pour se propager et s’étendre (son but comme tout être vivant est la survie). Un virus pour survivre doit infecter d’autres êtres (principalement humains dans le cas du covid-19) afin que ceux-ci en infectent d’autres, qui en infecteront d’autres, qui en infecteront d’autres, etc.

Pour le virus, la chaîne de transmission est vitale et doit être la plus longue possible afin de contaminer le plus de gens possible pour que cette chaîne ne se casse pas et qu’il puisse se reproduire le plus longtemps. Si la chaîne se casse, en effet, le virus ne peut plus contaminer d’autres personnes.

Lors d’une pandémie (surtout quand on ne sait pas la guérir), le but est de casser cette chaîne le plus RAPIDEMENT possible. La rapidité est primordiale pour deux raisons :

  • avoir moins de cas contaminés dans la population rend plus facile la casse de cette chaîne ;
  • quand nous avons affaire à une courbe exponentielle où le nombre de malades double tous les 15 jours, il est d’autant plus important de casser cette chaîne rapidement.

Briser la chaîne de transmission

Casser une chaîne de transmission est possible comme le montre l’exemple de plusieurs pays à l’urbanisation et aux mœurs et coutumes différentes.

Pour ce faire, il faut détecter le plus de cas possibles et remonter tous les contacts que les malades ont eus lors de la durée de contamination. Une fois ces cas-contacts déterminés, il faut qu’eux aussi fassent le test et se confinent pendant une quinzaine de jours (durée d’incubation du covid-19).

Cependant, cela peut prendre une mauvaise tournure, et à ce moment-là, il ne faut pas hésiter à confiner certains quartiers ou villes. C’est ce que la Chine a fait en reconfinant, début septembre, la ville de Ruili à la frontière birmane[3]. Elle a donc confiné sa population une quinzaine de jours pour de nouveau casser la chaîne de transmission. Le confinement éclair a été aussi pratiqué en août par la Nouvelle-Zélande, pays occidental qui a le mieux géré l’épidémie. Un reconfinement a été de nouveau déclaré mi-novembre dans la ville d’Auckland pour… UN cas ! Oui, UN cas[4] !

L’objectif de ces pays, qui confinent très rapidement, est d’éradiquer le virus en faisant en sorte qu’il ne peut plus se transmettre. Il vaut mieux confiner tôt mais peu, que tard et donc longtemps (comme il y a davantage de cas malades, le nombre de cas est plus difficile à faire redescendre).

La chaîne de transmission du covid-19

Les cas graves et le taux de létalité

       Certaines personnes pensent que cela ne sert à rien de faire tout ce pataquès pour le covid-19, c’est juste une mauvaise grippe, certaines personnes n’ont pas de symptômes, d’autres perdent « seulement » le goût et l’odorat (ce serait déjà horrible pour moi undecided), que c’est la sélection naturelle (bon, sur ce point, déjà, la maladie n’est pas naturelle car elle est due à l’environnement humain ; ensuite, oui, une sélection est faite, ce sont les plus pauvres qui trinquent, voir mon 1er et 3e article sur le covid-19 !).

       Objectivement, il n’y a « que » 20 % de cas graves[5] sur le nombre de personnes contaminées au covid-19. Cela semble peu. Ce qui est vrai… MAIS plus le nombre de cas contaminés augmente, plus le nombre de cas graves aussi. Quand vous avez 20 % sur 100 cas, cela ne fait « que » 20 cas graves qui nécessiteront une hospitalisation, mais quand vous avez 20 % sur 30 000 cas par jour (moyenne octobre-novembre), cela donne : 6 000 car graves par jour en moyenne !!!

       Et sur ces cas graves, il y a, en France, 0,5 % de personnes malades qui meurent du covid-19, c’est le taux de létalité[6]. Ce taux de létalité varie en fonction du pays et surtout des structures hospitalières. Moins il y a de place dans les hôpitaux pour prendre en charge les cas graves, plus ces derniers risquent de mourir par manque d’accès aux soins.

Les cas graves au covid-19
Taux de létalité au covid-19

Immunité collective et enfants

       L’immunité collective est le pourcentage d’une population qui est protégée contre une infection, protégeant alors le reste de cette population. Ainsi, quand un sujet infecté introduit un pathogène dans cette population, il infecte moins d’une personne en moyenne car la population est immunisée. L’épidémie est alors en voie d’extinction comme le pathogène rencontre trop de sujets protégés.

       Comme pour le taux de reproduction, plus le nombre de cas grimpe, plus la population doit être protégée pour arriver à une immunité collective. Pour l’instant, d’après les dernières recherches, l’immunité collective pour le covid-19 devrait être de 50 à 60 % d’immunité dans la population[7] (pour la rougeole, maladie très contagieuse, l’immunité doit être de 95 % !).

       Mais deux problèmes pointent pour l’immunité collective : le temps de sa mise en place et le temps de sa durée ?

       Combien de temps l’immunité collective au covid-19 va-t-elle se mettre en place ? Par exemple, pour la rougeole, l’immunité presque totale n’a pu être possible que grâce au vaccin, malgré des siècles de ce virus. Et la rougeole n’est toujours pas éradiquée. Et l’immunité est d’autant plus difficile à mettre en place quand un virus se propage aussi rapidement que le covid-19.

       Ensuite, si l’immunité se fait, combien de temps va-t-elle durer ? C’est une donnée importante à savoir pour déterminer combien de temps l’immunité collective est efficace et à quel taux. Et pour le covid-19, les scientifiques n’en savent pour l’instant rien du tout ! Actuellement, il y a officiellement 5 cas de réinfections dans le monde[8]. Les autres cas sont, en réalité, une infection longue de la maladie qui a été mal guérie en début d’année et qui est réapparue plus tard sous d’autres symptômes.

       Le rhume, qui est par exemple un coronavirus saisonnier, s’attrape tous les ans selon les personnes, l’immunité se fait donc que quelques semaines ou mois et non des années comme pour un vaccin.

Immunité collective au covid-19

       Enfin, une bonne immunité collective dépend de trois autres facteurs dont un important : les enfants (moins de 12 ans, au-dessus, ils sont considérés réagissant comme des adultes) ! À savoir s’ils sont porteurs ou non. Sur ce point, en ayant épluché différents articles, je peux affirmer qu’aujourd’hui, le 17 novembre 2020 : ON N’EN SAIT RIEN[9] ! Les études divergent et il n’y a pas encore assez eu d’études pour savoir. En outre, plusieurs biais ont eu lieu : certaines études ont été réalisées pendant le premier confinement, là où les enfants n’avaient pas école.

       En attendant, je serai d’avis de prendre le maximum de précaution, en fermant soit les écoles comme en Belgique[10], soit en dédoublant les classes (les élèves français sont les plus nombreux par classe des pays européens[11]). Et bien sûr, les universités n’auraient pas dû reprendre en présentiel dès début septembre. Nous aurions dû attendre que le taux d’incidence baisse.

L’importance de l’aérosolisation dans la transmission

       Si tout le monde connaît le mot aérosol (merci les pubs pour les bombes aérosol de « senteur de fleurs »), en revanche le mot aérosolisation est le nouveau mot qu’on a appris cette année (cette année a été riche en nouveau vocabulaire sealed !). Pour rappel, les aérosols sont de très fines particules solides, ou plus souvent liquides, qui sont en suspension dans l’air ou dans un gaz.

       L’aérosolisation signifie donc le processus qui transforme un solide ou un liquide en particules très fines. Le meilleur exemple est lorsque nous éternuons. Mais même en temps normal, lorsque nous parlons, crions ou chantons, par l’expiration, nous évacuons de minuscules gouttelettes qui restent en suspension dans l’air. Et si nous sommes infectés par le covid-19, celui-ci se transmettra via ces minuscules gouttelettes. Il a ainsi été démontré que l’aérosolisation est un facteur important de contagion au covid-19 (j’avais déjà évoqué le problème de la ventilation dans le 1er article sur la pandémie).

       Les schémas ci-dessous sont titrés du journal El País (journal de référence espagnol) et montrent que l’aérosolisation est un des facteurs le plus important de contagion que le non-port du masque (attention, je ne dis pas qu’il ne faut pas porter de masque). J’ai partagé l’exemple de la classe, mais allez voir l’article entier qui montre aussi un salon domestique et un bar[12].

Cas concret de contamination d'un lieu
Cas concret de contamination d'un lieu sans aucun masque
Cas concret de contamination d'un lieu avec masque
Cas concret de contamination d'un lieu avec asque et ventilation

       En connaissant l’aérosolisation comme un facteur important dans la transmission du virus, le gouvernement français aurait dû profiter de l’été pour revoir tous les systèmes de ventilation et climatisation des bâtiments publics, dont surtout les établissements scolaires. Il aurait dû également inciter les entreprises à faire de même. Exemple personnel : de mars à septembre, j’ai réclamé à mon patron de faire nettoyer la ventilation de nos bureaux, qui est à double flux (encore plus d’échange de microbes). L’entreprise de nettoyage est venue en octobre : cela faisait 4 ans que l’entretien n’avait pas été fait !!! Et mon entreprise ne doit pas être la seule dans ce cas-là ! Cela va tellement vite d’oublier ce genre de choses. Un petit rappel gouvernemental n’aurait donc pas fait de mal !

Pour conclure : l’inaction du gouvernement français

       Avec moins de cinq données (courbe exponentielle, taux de reproduction, taux d’incidence et importance de l’aérosolisation), il était déjà possible de prévoir le désastre. Choisir de confiner une population est un choix difficile, mais à quoi sert un gouvernement s’il n’est pas capable de prendre une telle décision pour l’intérêt général ?

       Il vaut mieux confiner tôt afin que le confinement ne dure pas longtemps, qu’attendre des semaines et se retrouver avec un confinement qui dure des mois, qui plombera toute l’économie et surtout où il y aura beaucoup trop de morts (sans compter les effets délétères du confinement sur notre santé mentale) ! Car il ne ne fallait pas se leurrer, ce n’était qu’une question de temps et les mesures comme le couvre-feu ne sont pas assez efficaces face au vecteur principal de transmission qu’est l’aérosolisation. Et dès août, le virus avait repris de l’ampleur. J’ai un bon point de repère car nous avons dû annuler les 40 ans de mon compagnon. Fin août, nous nous approchions du seuil d’alerte… et rien n’a été fait ! Exactement comme en mars où le gouvernement français avait déjà confiné trop tard ! Dès début mars, toute la France aurait dû être confinée en même temps que les Italiens, car le virus n’allait pas s’arrêter à la frontière comme un certain nuage venant de Tchernobyl en 1986…

       Ce qui me fascine, c’est la propension à faire deux fois les mêmes erreurs. Déjà, en mars, le gouvernement s’est révélé incompétent (ni test, ni masque), mais, soyons clément (seulement un peu yell), donnons-leur le bénéfice du doute, c’était la première fois ! Mais là, en septembre, alors qu’ils ont vu les effets d’être trop attentistes en mars, ils ont continué sur cette voie. Ne même pas rendre obligatoire le télétravail au moins dans les métropoles, là où les gens prennent des transports en commun bondés est un non-sens absolu.

       J’espère, qu’à la fin de cette crise, ils payeront leurs lourdes fautes. Des gens sont morts, des gens ont perdu leur travail, les banques alimentaires n’ont jamais vu autant de monde, le petit commerce est au plus mal, et je ne parle même pas des services publics… Normalement, ceux qui nous dirigent se considèrent comme des élites, c’est-à-dire des gens intelligents… Eh bien, je préfère ne pas être intelligente plutôt que de prendre d’aussi mauvaises décisions qui ont mis à mal tout un pays qui n’était pas déjà pas bien en point.

Pour se rappeler (on oublie vite),
un montage vidéo montrant que le gouvernement français était « prêt ».

Et pour finir sur du positif foot-in-mouth, il y aurait une immunité croisée entre le covid-19 et les coronavirus saisonniers comme le rhume (cliquez sur l’image pour voir l’article).

Immunité au covid-19
Source : Santé Log

POUR EN SAVOIR PLUS

Sur la gestion de la pandémie

Les trois fils Twitter que Maître Pandaï a publiés sur le sujet. Long à lire mais très très instructif. Ce sont ses fils qui m’ont inspiré cet article.

Sur les pays qui ont bien endigué la pandémie : https://www.femmeactuelle.fr/sante/news-sante/covid-19-ces-pays-qui-sen-sortent-face-au-virus-2103175

Sur le covid-19

Son arrivée et comme le révélateur des problèmes de notre société : mon dossier comportant 5 articles que j’ai actualisés.
1re partie : L’arrivée du virus par la mondialisation et un mode de vie urbain
2e partie : L’installation d’une crise sanitaire et économique à cause des manquements de l’État
3e partie : La pandémie dévoile une lutte des classes toujours présente
4e partie : La pandémie révèle les travers sociaux de notre société
5e partie : La pandémie renforce la réflexion écologique actuelle de notre vie quotidienne

Sur l’actualité hebdomadaire du covid-19, Radiographies du coronavirus, la chronique de Nicolas Martin, sur France Culture, dure seulement quelques minutes : https://www.franceculture.fr/emissions/radiographies-du-coronavirus

Pour avoir les chiffres par carte et au jour le jour, par région : https://www.francetvinfo.fr/sante/maladie/coronavirus/infographies-covid-19-morts-hospitalisations-age-malades-l-evolution-de-l-epidemie-en-france-et-dans-le-monde-en-cartes-et-graphiques.html

Pour aller à la source même des chiffres, le site Santé Publique France (attention en ce moment, les remontées des chiffres sont plus difficiles car les hôpitaux sont débordés) : https://www.santepubliquefrance.fr/dossiers/coronavirus-covid-19/coronavirus-chiffres-cles-et-evolution-de-la-covid-19-en-france-et-dans-le-monde

Sur les notions abordées liées au covid-19

Sur le taux de reproduction et le taux de reproduction effectif : https://www.lemonde.fr/les-decodeurs/article/2020/06/26/qu-est-ce-que-le-r0-le-taux-de-reproduction-du-virus_6044327_4355770.html?utm_medium=Social&utm_source=Twitter#Echobox=1593188338

Sur le calcul du taux de reproduction : https://sante.journaldesfemmes.fr/fiches-maladies/2629823-taux-de-reproduction-covid-coronavirus-r0-r-effectif-definition-carte-region-courbe-calcul-aujourd-hui-confinement/

Sur l’immunité collective, l’explication de l’institut Pasteur : https://www.pasteur.fr/fr/espace-presse/documents-presse/qu-est-ce-que-immunite-collective

Sur la contagiosité des enfants au covid-19, un bon (mais long) résumé des études parues sur le risque d’infection des enfants au covid-19 : https://www.lemonde.fr/blog/realitesbiomedicales/2020/11/02/covid-19-ce-que-lon-sait-sur-les-enfants-et-adolescents-et-ce-quil-reste-a-apprendre/

Sur le taux de létalité : https://www.lemonde.fr/les-decodeurs/article/2020/10/14/le-covid-19-n-est-pas-devenu-50-a-100-fois-moins-letal-qu-en-mars-comme-l-affirme-le-professeur-toussaint_6056010_4355770.html

Sur la transmission du covid-19 via l’aérosolisation, le très bon article (en français) de El País (journal de référence espagnol) « Un salon, un bar et une classe: ainsi se transmet le coronavirus dans l’air » avec des infographies didactiques : https://elpais.com/ciencia/2020-11-02/un-salon-un-bar-et-une-classe-ainsi-se-transmet-le-coronavirus-dans-lair.html

NOTES DE BAS DE PAGE

[1] https://www.sciencesetavenir.fr/sante/covid-19-allons-nous-vers-une-croissance-exponentielle_146609

[2] https://www.capital.fr/economie-politique/covid-19-le-taux-dincidence-franchit-le-seuil-dalerte-en-france-1379506

[3] https://www.ouest-france.fr/sante/virus/coronavirus/la-chine-confine-une-ville-entiere-apres-trois-cas-de-covid-19-6973864

[4] https://www.huffingtonpost.fr/entry/confinement-partiel-en-nouvelle-zelande-apres-un-cas-de-covid-19-dorigine-mysterieuse_fr_5fad0eb7c5b635e9de9f2f2b

[5] https://www.inserm.fr/actualites-et-evenements/actualites/suivi-cas-graves-covid-19-cle-pour-comprendre-maladie

[6] https://www.francetvinfo.fr/sante/maladie/coronavirus/coronavirus-comment-est-calcule-le-taux-de-letalite_3863003.html

[7] https://sante.journaldesfemmes.fr/fiches-maladies/2632105-immunite-collective-covid-coronavirus-definition-france-pourcentage-seuil-estimation-danger/

[8] https://www.santemagazine.fr/actualites/actualites-sante/peut-on-attraper-deux-fois-la-covid-19-665834

[9] Un bon (mais long) résumé des études parues sur le risque d’infection des enfants au covid-19 : https://www.lemonde.fr/blog/realitesbiomedicales/2020/11/02/covid-19-ce-que-lon-sait-sur-les-enfants-et-adolescents-et-ce-quil-reste-a-apprendre/

[10] https://www.francetvinfo.fr/replay-radio/le-club-des-correspondants/quelle-gestion-du-covid-dans-les-ecoles-en-italie-aux-pays-bas-et-en-tunisie_4157515.html

[11] Page 15 du rapport du ministère de l’Éducation nationale : https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwimx67a94HtAhUIBGMBHTwlCREQFjAAegQIBxAC&url=https%3A%2F%2Fwww.education.gouv.fr%2Fmedia%2F69370%2Fdownload&usg=AOvVaw25gCqPioWgJj1QNIwrceIG

[12] https://elpais.com/ciencia/2020-11-02/un-salon-un-bar-et-une-classe-ainsi-se-transmet-le-coronavirus-dans-lair.html

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